Lo studio dei sistemi complessi, delle strutture frattali e di tutto ciò che da più di venti anni rientra nell'ambito delle teorie del caos si è ormai diffuso in molte branche della conoscenza scientifica e della matematica. Troviamo sistemi caotici in ogni disciplina: dalle tradizionali discipline classicamente considerate scientifiche, come la fisica (dalla microfisica alla meccanica quantistica alla cosmologia), la matematica, la chimica, ecc., alle discipline di più recente qualificazione scientifica, come l'economia, la psicologia, l'antropologia sociologica; sino a giungere a discipline come l'arte.
Si vede dunque che c'è qualcosa di comune a tutte queste discipline: i processi fisiologici, geologici, cosmologici, sociali generano ordine, trasmettono informazione. Nel fare ciò tali processi trasformano uno stato semplice in uno più complesso, e il più delle volte quest'ultimo non dà per nulla l'idea di essere ordinato. Infatti a livello macroscopico, come appunto nel caso della trasformazione geofisica, dei processi cosmologici, degli sviluppi socio-economici, si osserva nel contempo la dispersione dell'informazione, e la distruzione dell'informazione e dell'ordine.

Facciamo un esempio tratto dalla fisica. Come ben sappiamo un sistema governato dalla meccanica classica newtoniana è tipicamente caotico: l'evoluzione futura è instabile: il risultato di un piccolissimo cambiamento delle condizioni iniziali provoca dopo molto tempo un enorme cambiamento dello stato del sistema. Tuttavia sappiamo anche che la meccanica classica non è che un'appros-simazione della meccanica quantistica e, poiché un sistema quantistico di spazio e energia limitati è quasi periodico, questa non può essere caotica. Si presenta così un'inquietante idea: il mondo che ci circonda ha una doppia natura: è contemporaneamente caotico e ordinato, deterministico e indeterministico, semplice e complesso, lineare e non-lineare. Tutto dipende dalla profondità e accuratezza della nostra osservazione e analisi, ma anche dall'arco di tempo che prendiamo in considerazione nel nostro studio e durante il quale si verificano degli eventi.

Da un punto di vista epistemologico il problema è essenzialmente metodologico: se la natura rivela una struttura contemporaneamente caotica e ordinata, semplice e complessa, deterministica e non, in base all'accuratezza e alla dimensione temporale della nostra analisi, dobbiamo ricorrere a metodi profondamente diversi fra loro per quasi ogni oggetto che vogliamo studiare. Tuttavia, in base all'accuratezza e all'arco di tempo durante il quale si fa un'unica osservazione, o allo scarto di tempo tra due osservazioni fatte in due momenti arbitrariamente distanti fra loro, avremo bisogno di metodi diversi per lo studio di uno stesso solo oggetto.

Una simile situazione ci mette di fronte a uno scenario di questo tipo: se procediamo dallo studio microfisico fino a giungere allo studio cosmologico, passando per tutti gli stati intermedi, troviamo isole di ordine (la meccanica ad esempio) in un oceano di disordine (la meccanica classica newtoniana, i battiti cardiaci, l'evoluzione sociale, ecc.). Tuttavia, a volte, in uno stesso sistema, all'interno di uno stesso metodo, di uno stesso oggetto di studio, che si ritiene lineare, in un arco di tempo arbitrariamente lungo, possono avvenire degli sconvolgimenti catastrofici (nel senso reso popolare da René Thom, o secondo il concetto di transizione di fase come rottura spontanea di una simmetria), i quali introducono o fanno emergere strutture caotiche impreviste, che, come è noto, sono sempre state considerate nel passato come casuali.

Senza il caos sembra non poter nascere nulla di nuovo. La vita stessa pare basarsi proprio su sistemi non-lineari: il battito cardiaco di una persona sana non ha periodicità costante, come si è sempre ritenuto; anzi, il battito cardiaco costante spesso preannuncia situazioni patologiche per l'individuo, come l'infarto. Ancora: la struttura dei polmoni, che è descrivibile solo in una geometria frattale, permette loro di contenere grandissimi volumi d'aria. Ramificazioni e ripiegature frattali ampliano la superficie disponibile per l'assorbimento (intestino), la distribuzione e la raccolta di soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale) e per l'elaborazione delle informazioni (rete di neuroni). Le strutture frattali fisiologiche, anche in virtù della loro ridondanza e irregolarità, sono piuttosto resistenti a eventuali danni - ecco che gli studi della tecnologia delle costruzioni e della struttura della materia trovano spunti per materiali e costruzioni più resistenti.

Tempo, determinismo, causalità

La crisi metodologica investe pressoché ogni analisi epistemologica; per esempio la misura del tempo: la meccanica newtoniana è reversibile e ripetibile, tuttavia in molte strutture macroscopiche il tempo tende verso un'unica direzione - un morto non torna a vivere, un bicchiere di cristallo che cade e si rompe non si ricostruisce e torna sul mobile, ecc. A livello quantistico si osserva tuttavia un continuo quadridimensionale esteso nello spazio e nel tempo, e non si privilegia nessun momento del tempo. Ci rendiamo conto in tal caso che siamo costretti a concludere che le qualità che consideriamo essenziali del tempo - passato, presente e futuro - sono puramente soggettive, sono categorie del giudizio dell'uomo che non sono presenti effettivamente nella natura degli atomi e dei suoi componenti (Davies, 1985).
Il nostro modo di ragionare è abituato e resta comunque legato a un'interpretazione di tipo newtoniano: cerchiamo cause. Tuttavia cercare le cause non vuol dire più cercare il perché di una cosa, ma il come: ciò che l'uomo continua-mente e ovunque cerca è la relazione di causa e effetto. Tuttavia, come già Poincaré faceva rilevare:

[...] una causa trascurabile, che ci sfugge, determina un effetto considerevole che non possiamo non vedere, e allora diciamo che questo effetto è dovuto al caso. Se noi conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo all'istante iniziale, potremmo predire esattamente la situazione di questo stesso universo in un istante successivo. Ma, quand'anche le leggi naturali non avessero più segreti per noi, non potremmo conoscere la situazione iniziale se non appros-simativamente. Se ciò ci permette di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, questo è tutto ciò di cui abbiamo bisogno e diciamo allora che il fenomeno è stato previsto, che è regolato da certe leggi, ma questo non succede sempre, può succedere infatti che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne generino di grandissime nei fenomeni finali; un piccolo errore nelle prime produrrebbe un enorme errore sugli ultimi. La predizione diventa impossibile e noi siamo di fronte ad un fenomeno fortuito (Poincaré 1989, p. 49).

Inoltre, talvolta non abbiamo gli strumenti - e probabilmente non li avremo mai - per conoscere pienamente tutti gli elementi che costituiscono un dato evento in un ben definito e ristretto arco di tempo, sì da poter prevedere o determinare la sua evoluzione (il supermatematico di Laplace è quindi impossibile1).
A questo difetto profondo nello studio delle cause è legata anche la crisi della possibilità di prevedere l'evoluzione di un sistema: possiamo fare solo previsioni a brevissimo termine, e anche queste hanno gradi di probabilità raramente prossimi alla certezza.

Determinismo e riduzionismo hanno subìto i maggiori rivolgimenti: questa doppia natura ha rilevato un alternarsi di sistemi deterministici e sistemi non-deterministici; quasi ogni sistema si sviluppa con biforcazioni ad albero; ogni descrizione di questi sistemi contiene tanto elementi necessari (deterministici) quanto elementi casuali (indeter-ministici); un sistema che si trovi nel tratto compreso tra due punti di biforcazione obbedisce alle leggi deterministiche, ma all'approssimarsi dei punti di biforcazione hanno una parte essenziale le fluttuazioni (che possono essere causate sia da elementi interni al sistema stesso, che esterni), che lo rendono indeterministico e non prevedibile e che determinano in modo più forte su quale "ramo" il sistema proseguirà.
L'approccio riduzionista richiedeva lo studio delle interazioni elementari. Prevalentemente negli anni Sessanta e Settanta questo atteggiamento metodologico è stato abbandonato perché ci si accorse che lo studio dei dettagli microscopici, che portava all'informazione sulle possibili fasi in cui si poteva trovare un sistema, comportava anche una rottura di quella simmetria tanto cercata e ritenuta elemento fondamentale.

I sistemi macroscopici che si sviluppano nel tempo sottostanno alla seconda legge della termodinamica: l'aumento dell'entropia può, quindi, esser visto come una misura del tempo; la seconda legge della termodinamica stabilisce anche l'irreversibilità dei fenomeni, quindi stabilisce anche la direzione del tempo; la direzionalità del tempo (anisotropia) costituisce il fondamento del principio di causalità (in termini più filosofici Cramer giunge ad affermare che "l'essere è il tempo", riprendendo un concetto caro di Heidegger: l'essere non è solo sostrato, ma si costituisce solo mediante il tempo).
In tutto questo processo, la cosa essenziale è che l'infor-mazione data inizialmente nel sistema si conservi; se ciò avviene è possibile anche la previsione. Se l'informazione viene modificata, dissipata o incrementata, la previsione perde di precisione: previsione e misura della complessità sono, quindi, inversamente proporzionali.

Il metodo classico per controllare una teoria consisteva nel fare previsioni e confrontarle con i dati sperimentali alla ricerca di falsificazioni. Se i fenomeni sono caotici, le previsioni a lungo termine e, come si è visto, anche la stessa possibilità di compiere misure, sono intrinsecamente impossibili, quindi nel giudicare la bontà della teoria si deve tener conto anche di questo. Il tempo acquista dunque un peso sempre più rilevante nel modello scientifico: nella formalizzazione non è più possibile escludere la componente temporale, non si parla più di oggetti ma di eventi - la meccanica quantistica aveva già dovuto abbandonare i riferimenti a unità per parlare di onde di probabilità. D'altra parte il tempo si pone come limite: lo studio di eventi temporalmente troppo estesi comporta la presenza di una maggiore complessità strutturale dello stesso.

Si vede, dunque, l'affermazione di un ruolo della scienza descrittivo e qualitativo, più che calcolatorio e predittivo. Ciò che si vuole descrivere è fondamentalmente una storia, la storia del sistema: non si può più descrivere/studiare un evento singolo, unitario, senza inserirlo nella sua storia precedente. C'è dunque la necessità di creare modelli dinamici.

Paradossi, fuzzy logic e caos

Lo studio dei comportamenti caotici è entrato negli ultimi tempi anche nel campo della logica. Possiamo trovare alcuni esempi rilevanti nell'analisi dei paradossi semantici e degli enunciati autoreferenziali.
Prendiamo subito un esempio concreto da uno dei paradossi più famosi e studiati della storia della logica, e della filosofia in generale: il paradosso del mentitore (Stewart, 1993). L'enunciato "questa affermazione è falsa" è autoreferenziale: infatti, se è vero allora è falso, e se è falso allora è vero. Dà a se stesso un valore di verità che in un sistema logico a due valori non può essere calcolato senza cadere in contraddizione. Dopo i diversi tentativi di superare l'inconveniente tramite le logiche polivalenti, recentemente si è cercato di applicare la logica fuzzy.

In un sistema di logica fuzzy applicata al paradosso del mentitore si può partire dall'affermazione che la stessa pretesa di dire sempre il falso è già una mezza verità. Riprendiamo l'enunciato di prima

Questa affermazione è falsa

Indichiamo da adesso l'enunciato con P, e con p il suo valore di verità che in logica a due valori di verità sarà uguale a

P = 1 - p

Questo perché se P è vero, allora la sua negazione, non-P, è falsa, e il suo valore di verità è 0. Ora, 1 - 0 = 1 e 1 - 1 = 0; pertanto, se il valore di verità di P è p, allora il valore di verità di non-P è 1 - p. Da qui nasce il paradosso: se p = 0, allora P ci dice che p = 1 - 0 = 1; e se p = 1, allora P ci dice che p = 1 - 1= 0; in entrambi i casi c'è una contraddizione. In logica fuzzy possiamo evitare il paradosso dando il valore p = 0,5 e ricorrendo a una formula dinamica possiamo riscrivere la stima del valore di verità:

p " 1 - p

L'uso di una logica dinamica ci obbliga a correggere di volta in volta la stima del valore di verità dell'enunciato in oggetto. Il valore assegnato prima di p = 0,5 è l'unico che non porta a una oscillazione: se si fosse affermato, per esempio, che P è vera al 30 per cento, avremmo trovato una continua oscillazione di p = 0,3, corretto poi in p = 0,7, nuovamente corretto con p = 0,3, e così via con una successione infinita di valori di verità che oscillano tra 0,3 e 0,7.

Per vedere come la logica fuzzy ci possa essere utile per osservare e controllare sistemi caotici nella logica e nella semantica prendiamo un altro esempio. Consideriamo l'enunciato seguente

Platone è un buon giocatore di golf

che indicheremo con S. Affermiamo che il valore di verità di S sia s = 0,4. Ora consideriamo anche questo secondo enunciato T

S è vero al 100%

Se T fosse vero al 100%, allora S sarebbe anche vero al 100%, ma abbiamo stabilito che S non è vero al 100%. Il grado di verità di T, che riguarda S, dipende dall'effettivo valore di verità di S e dal valore di verità attribuito a S da T. Più la mia valutazione sarà quindi imprecisa, più falsa diventa la mia affermazione. Sappiamo che s = 0.4, ma secondo T il valore è 1. La differenza in questo caso è pari a 0,6, quindi T è falso nella misura del 60%, cioè è vero al 40%. Se avessi detto che S è vero al 50% la differenza sarebbe stata del solo 10%, quindi T sarebbe stato vero al 90%. Logicamente, se avessi detto che S è vero al 40%, avrei avuto ragione al 100%.

Riassumendo, se supponiamo che io abbia un enunciato P con valore di verità p e un enunciato Q che ci porta a stimare in p' il valore di verità di P, il valore di verità di Q è

q = 1 - |p - p'|

che sarà la nostra formula di stima.

Possiamo quindi formulare l'enunciato del mentitore caotico.

Questo enunciato è tanto vero quanto viene stimato falso.

Se il suo valore di verità è - c - allora esso ci dice di stimare un valore di verità pari a 1-c. Secondo la formula di stima il suo valore di verità è

1 - |c - (1 - c)| = 1 - |1 - 2c|

Ci troviamo così di fronte a un processo dinamico

c Æ 1 - |1 - 2c|

di ricalcolo del valore di verità di c. Scegliamo due valori di partenza qualsiasi, per esempio c = 0,12345 e c = 0,12346. Scopriremo che i valori successivi sono caotici. Se sostituiamo il valore di partenza con

c = 1 - |0,999999 - 2c|

possiamo osservare anche il famoso effetto farfalla. Naturalmente dobbiamo evitare che il calcolo si stabilizzi con arrotondamenti su 0 o 1.

In conclusione, si parte dall'idea del calcolo del valore di verità di un insieme di enunciati autoreferenziali e si accede a un processo dinamico al quale si possono applicare le tecniche della teoria del caos. Possiamo a questo punto rendere ancor più vago l'enunciato del mentitore caotico dal quale siamo partiti con il seguente

La falsità stimata di questo enunciato non è molto diversa dalla sua verità stimata,

che ci porta alla formula dinamica

p " 1 - [p - (1 - p)]2

che diventa

p " 4p (1 - p)

Un simile approccio, che Mar e Grimm chiamano geometrico per via delle associazioni possibili con i frattali di Mandelbrot, permetterebbe di distinguere tra sistemi differenti di enunciati autoreferenziali, e di dimostrare che non esiste nessuna procedura decisionale che possa dirci se un sistema dato sia caotico o no - qualcosa che ci richiama subito alla mente il risultato del teorema di Gödel sull'indecidibilità dell'aritmetica.

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